V kastrolu na rozpáleném oleji osmažíme drobně nakrájenou cibuli do lehkého zezlátnutí. Přidáme mleté maso a smažíme, dokud maso nezhnědne a nebude sypké. Přidáme na kostičky nakrájenou mrkev a tymián, osolíme, opepříme a zalijeme krájenými rajčaty z konzervy. Přiklopíme pokličkou a dusíme pozvolna asi 20 minut. Mezitím si oloupeme brambory a uvaříme je v osolené vodě doměkka. Vodu slijeme a k bramborám přidáme máslo. Zalijeme ohřátým mlékem a umícháme hladkou kaši. Do kaše ještě vmícháme nastrouhaný parmazán. Troubu předehřejte na teplotu 180°C. Zapékací misku vymažeme máslem. Na dno rozprostřeme maso a na ně navrstvíme bramborovou kaši. Vidličkou ji urovnáme a vytvoříme ozdobné špičky. Poklademe kousky zbylého másla a pečeme asi 50 minut, až špičky kaše krásně zezlátnou.